Правила Кирхгофа (часто в литературе ошибочно называются Зако́нами Кирхго́фа ) - соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи . Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного и квазистационарного тока . Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений, и соответственно, найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.
Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле). Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в химии и физике .
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел , ветвь и контур электрической цепи . Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током, например, на рис. отрезок, обозначенный R 1 , I 1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур - замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи. Термин замкнутый путь означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел . Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.
В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.
Первое правило
Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла - отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.
∑ j = 1 n I j = 0. {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{n}I_{j}=0.}Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда .
Второе правило
Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС , входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:
Для постоянных напряжений ∑ k = 1 n E k = ∑ k = 1 m U k = ∑ k = 1 m R k I k ; {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}E_{k}=\sum _{k=1}^{m}U_{k}=\sum _{k=1}^{m}R_{k}I_{k};} для переменных напряжений ∑ k = 1 n e k = ∑ k = 1 m u k = ∑ k = 1 m R k i k + ∑ k = 1 m u L k + ∑ k = 1 m u C k . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}e_{k}=\sum _{k=1}^{m}u_{k}=\sum _{k=1}^{m}R_{k}i_{k}+\sum _{k=1}^{m}u_{L\,k}+\sum _{k=1}^{m}u_{C\,k}.}
Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.
Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура. При этом падение напряжения на ветви считают положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, и отрицательным - в противном случае (см. далее).
Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.
Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений
Если цепь содержит p {\displaystyle p} узлов, то она описывается p − 1 {\displaystyle p-1} уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.
Если цепь содержит m {\displaystyle m} ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве m i {\displaystyle m_{i}} , то она описывается m − m i − (p − 1) {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)} уравнениями напряжений.
Пример
Количество узлов: 3.
P − 1 = 2 {\displaystyle p-1=2}
Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.
M − m i − (p − 1) = 2 {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2}
Количество контуров: 2.
Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:
{ I 1 − I 2 − I 6 = 0 I 2 − I 4 − I 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases}}}Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие - отрицательными.
Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.
Задача 1
Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.
Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.
Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи
Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.
На примере первого контура – ток I 1 и I 3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.
Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:
Все эти три уравнения образуют систему
Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).
Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей .
Задача 2
Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.
Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2
Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.
На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными
Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины
Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.
Законы Кирхгофа – правила, которые показывают, как соотносятся токи и напряжения в электрических цепях. Эти правила были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году. В литературе часто называют законами Кирхгофа, но это не верно, так как они не являются законами природы, а были выведены из третьего уравнения Максвелла при неизменном магнитном поле. Но все же, первое более привычное для них название, поэтому и мы будет их называть, как это принято в литературе – законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа – сумма токов сходящихся в узле равна нулю.
Давайте разбираться. Узел это точка, соединяющая ветви. Ветвью называется участок цепи между узлами. На рисунке видно, что ток i входит в узел, а из узла выходят токи i 1 и i 2 . Составляем выражение по первому закона Кирхгофа, учитывая, что токи, входящие в узел имеют знак плюс, а токи, исходящие из узла имеют знак минус i-i 1 -i 2 =0. Ток i как бы растекается на два тока поменьше и равен сумме токов i 1 и i 2 i=i 1 +i 2 . Но если бы, например, ток i 2 входил в узел, тогда бы ток I определялся как i=i 1 -i 2 . Важно учитывать знаки при составлении уравнения.
Первый закон Кирхгофа это следствие закона сохранения электричества: заряд, приходящий к узлу за некоторый промежуток времени, равен заряду, уходящему за этот же интервал времени от узла, т.е. электрический заряд в узле не накапливается и не исчезает.
Второй закон Кирхгофа – алгебраическая сумма ЭДС, действующая в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения в этом контуре.
Напряжение выражено как произведение тока на сопротивление (по закону Ома).
В этом законе тоже существуют свои правила по применению. Для начала нужно задать стрелкой направление обхода контура. Затем просуммировать ЭДС и напряжения соответственно, беря со знаком плюс, если величина совпадает с направлением обхода и минус, если не совпадает. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, для нашей схемы. Смотрим на нашу стрелку, E 2 и Е 3 совпадают с ней по направлению, значит знак плюс, а Е 1 направлено в противоположную сторону, значит знак минус. Теперь смотрим на напряжения, ток I 1 совпадает по направлению со стрелкой, а токи I 2 и I 3 направлены противоположно. Следовательно:
-E 1 +E 2 +E 3 =I 1 R 1 -I 2 R 2 -I 3 R 3
На основании законов Кирхгофа составлены методы анализа цепей переменного синусоидального тока . Метод контурных токов – метод основанный на применении второго закона Кирхгофа и метод узловых потенциалов основанный на применении первого закона Кирхгофа.
Важными правилами в физике и электротехнике являются правила, выведенные Кирхгофом, которые позволяют рассчитать цепи любой сложности, работающие на переменном, постоянном и квазистационарном токе. Данные правила были предложены в 1845 году великим немецким физиком Густавом Кихгофом. Иногда эти правила ещё называют законами, хотя такое название не вполне корректно в силу того, что они не носят характера фундаментальных законов Природы, а выведены из других законов. Рассмотрим описания и значения для физики и электротехники правил Кирхгофа.
Определение
Правила Кирхгофа – это соотношения между токами и напряжениями, выполняемые на участках произвольной электрической цепи. Формулировка правил осуществляется через вспомогательные понятия узла, контура и ветви электрической цепи.
- Ветвь электрической цепи – любой входящий в цепь двухполюсник.
- Узел электрической цепи (точка разветвления) – точка соединения нескольких ветвей (от 3 и больше)
- Под контуром электрической цепи понимают замкнутый цикл ветвей, то есть такой путь по цепи, однократное прохождение которого (через ветви и узлы) заканчивается в узле, с которого был начат проход.
Первое правило
Рассмотрим первое правило Кирхгофа, иначе называемое правилом токов Кирхгофа. Оно вытекает из закона сохранения заряда и звучит следующим образом: алгебраическая сумма всех токов в любом узле произвольной цепи равняется нулю. Или, выражаясь более понятным языком, количество тока, втекающего в узел, равно количеству тока, вытекающего из него. В виде формулы это выглядит так: I 1 +I 2 +..I n =0
При расчете, токи, втекающие в узел, считаются со знаком «плюс», а вытекающие из узла – со знаком «минус».
Второе правило
Правило напряжений Кирхгофа, чаще называемое вторым правилом Кирхгофа, является следствием закона сохранения заряда. Оно звучит следующим образом: алгебраическая сумка падений напряжений, на всех ветвях произвольного замкнутого контура, равняется алгебраической сумме ЭДС (электродвижущих сил) ветвей этого контура. Если в данном контуре нет источников ЭДС (идеальных источников напряжения), то сумма падение напряжений в этом контуре равна нулю. В виде формулы это выглядит так: E 1 +E 2 +…+E n =R 1 *I 1 +R 2 *I 2 +…+R n I n
При расчете, падение напряжения исходят из следующих правил: если ток в ветви совпадает с выбранным направлением обхода контура, то падение напряжения на этой ветви считают со знаком «плюс». Если ток в ветви направлен против направления обхода контура, то падение напряжения берут со знаком «минус». В частном случае расчета цепи из одного контура, второе правило Кирхгофа вырождается в закон Ома для цепи.
Правила записи системы уравнений цепи
Для цепи из p узлов необходимо составить p-1 уравнений токов. Для цепи из m ветвей (в m i из которых есть источники тока) необходимо составить m-m i -(p-1) уравнений напряжений. Все эти уравнения образуют систему линейных уравнений цепи, позволяющую определить все напряжения и токи в цепи. Прежде чем составить уравнения, произвольно выбирают:
- Положительное направление тока для каждой ветви. Из нужно обозначить на схеме цепи.
- Положительное направление обхода каждого контура. Для простоты рекомендуют выбирать для всех контуров одно направление.
При записи уравнений напряжений нужно стараться выбирать контуры так, чтобы в каждом новом контуре была хотя бы одна ветвь, не входящая в контуры, для которых уже написаны уравнения. Для сложных цепей, в которых трудно обнаружить все узлы и контуры, прибегают к теории графов для подсчета числа независимых контуров.
Значение правил для физики и электротехники
Правила Кирхгофа позволяют однозначно и полно рассчитать любую электрическую цепь. Широкое применение этих правил объясняются тем, что систему уравнений цепи по ним достаточно легко составить и решить, применяя стандартные способы линейной алгебры, такие, как метод Гаусса или метод Крамера. Теперь вы знакомы с правилами Кигхгофа.
Для расчетов задач по электротехнике в физике есть ряд правил, часто используют первый и второй закон Кирхгофа, а также . Немецкий ученый Густав Кирхгоф имел достижения не только в физике, но и в химии, теоретической механике, термодинамике. В электротехнике используется закономерность, которую он установил для электрической цепи, из двух соотношений. Законы Кирхгофа (также их называют правилами) описывают распределение токов в узлах и падений напряжений на элементах контура. Далее мы попытаемся объяснить простым языком, как применять соотношения Кирхгофа для решения задач.
Определение первого закона звучит так: «Алгебраическая сума токов, протекающих через узел, равна нулю». Можно сказать немного в другой форме: «Сколько токов втекло в узел, столько же и вытекло, что говорит о постоянстве тока» .
Узлом цепи называют точку соединения трех и больше ветвей. Токи в таком случае распределяются пропорционально сопротивлениям каждой ветви.
I 1 =I 2 +I 3
Такая форма записи справедлива для цепей постоянного тока. Если использовать первый закон Кирхгофа для цепи переменного тока, то используются мгновенные значения напряжений, обозначаются буквой İ и записывается в комплексной форме, а метод расчета остаётся прежним:
Комплексная форма учитывает и активную и реактивную составляющие.
Второй закон Кирхгофа
Если первый описывает распределение токов в ветвях, то второй закон Кирхгофа звучит так: «Сумма падений напряжений в контуре равна сумме всех ЭДС». Простыми словами формулировка звучит так: «ЭДС, приложенное к участку цепи, распределится по элементам данной цепи пропорционально сопротивлениям, т.е. по закону Ома».
Тогда как для переменного тока это звучит так: «Сумма амплитуд комплексных ЭДС равняется сумме комплексных падений напряжений на элементах» .
Z – это полное сопротивление или комплексное сопротивление, в него входит и резистивная часть и реактивная (индуктивность и ёмкость), которая зависит от частоты переменного тока (в постоянном токе есть только активное сопротивление). Ниже представлены формулы комплексного сопротивления конденсатора и индуктивности:
Вот картинка, иллюстрирующая вышесказанное:
Методы расчетов по первому и второму законам Кирхгофа
Давайте приступим к применению на практике теоретического материала. Чтобы правильно расставить знаки в уравнениях, нужно выбрать направление обхода контура. Посмотрите на схему:
Предлагаем выбрать направление по часовой стрелке и обозначить его на рисунке:
Штрих-пунктирной линией обозначено, как идти по контуру при составлении уравнений.
Следующий шаг – составить уравнения по законам Кирхгофа. Используем сначала второй. Знаки расставляем так: перед электродвижущей силой ставится минус, если она направлена против движения часовой стрелки (выбранное нами в предыдущем шаге направление), тогда для ЭДС направленного по часовой стрелке – ставим минус. Составляем для каждого контура с учетом знаков.
Для первого смотрим направление ЭДС, оно совпадает со штрих-пунтирной линией, ставим E1 плюс E2:
Для второго:
Для третьего:
Знаки у IR (напряжения) зависят от направлением контурных токов. Здесь правило знаков такое же, как и в предыдущем случае.
IR пишется с положительным знаком, если ток протекает в сторону направления обхода контура. А со знаком «–», если ток течет против направления обхода контура.
Направление обхода контура — это условная величина. Нужна она только для расстановки знаков в уравнениях, выбирается произвольно и на правильность расчётов не влияет. В отдельных случаях неудачно выбранное направление обхода может усложнить расчёт, но это не критично.
Рассмотрим еще одну цепь:
Здесь целых четыре источника ЭДС, но порядок расчета тот же, сначала выбираем направление для составления уравнений.
Теперь нужно составить уравнения согласно первому закону Кирхгофа. Для первого узла (слева на схеме цифра 1):
I 3 втекает, а I 1 , I 4 вытекает, отсюда и знаки. Для второго:
Для третьего:
Вопрос: «Узла четыре, а уравнения всего три, почему?». Дело в том, что число уравнений первого правила Кирхгофа равно:
N уравнений =n узлов -1
Т.е. уравнений всего на 1 меньше, чем узлов, т.к. этого достаточно, чтобы описать токи во всех ветвях, советую еще раз подняться к схеме и проверить, все ли токи записаны в уравнениях.
Теперь перейдем к построению уравнений по второму правилу. Для первого контура:
Для второго контура:
Для третьего контура:
Если подставить значения реальных напряжений и сопротивлений, тогда выяснится, что первый и второй законы справедливы и выполняются. Это простые примеры, на практике приходится решать гораздо более объёмные задачи.
Вывод . Главное при расчётах с помощью первого и второго законов Кирхгофа – соблюдения правила составления уравнений, т.е. учитывать направления протекания токов и обхода контура для правильной расстановки знаков для каждого элемента цепи.
Законы Кирхгофа для магнитной цепи
В электротехнике также важны и расчёты магнитных цепей, оба закона нашли своё применение и здесь. Суть остаётся той же, но вид и величины изменяются, давайте рассмотрим этот вопрос подробнее. Сначала нужно разобраться с понятиями.
Магнитодвижущая сила (МДС) определяется произведением количества витков катушки, на ток через неё:
Магнитное напряжение – это произведение напряженности магнитного поля на ток, через участок, измеряется в Амперах:
U m =H*I
Или магнитный поток через магнитное сопротивление:
U m =Ф*R m
L – средняя длина участка, μ r и μ 0 – относительная и абсолютная магнитная проницаемость.
Проводя аналогии запишем первый закон Кирхгофа для магнитной цепи:
То есть сумма всех магнитных потоков через узел равна нулю. Вы заметили, что звучит почти так же, как и для электрической цепи?
Тогда второй закон Кирхгофа звучит, как «Сумма МДС в магнитном контуре равна сумме U M (магнитных напряжений).
Магнитный поток равен:
Для переменного магнитного поля:
Он зависит только от напряжения на обмотке, но не от параметров магнитной цепи.
